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■ 책 소개 

천재들의 발상 속에 숨어 있는 ‘생각의 2중 스캐닝’ 그 비밀을 파헤친 최초의 책! 

생각을 연결하고, 확장하고, 지배하고, 장악하는 최상위 생각의 비밀 

현직 변호사이며 인텔리콘 융합 연구소 소장인 임영익이 어디서도 들어보지 못했던 ‘생각의 2중 스캐닝 원리’를 파헤친 책으로, 기묘한 『생각의 2중 스캐닝 원리-메타생각』을 소설형식으로 재미있게 풀어낸다. 이 책은 천재들의 발상법이나 창의적 사고를 어떻게(how) 할 수 있는가에 대한 실질적인 방법론을 제시한다. 또한 자신이 가지고 있는 생각을 연결하고 확장하고 폭발시키는 생각의 점화장치를 ‘메타생각’이라고 칭하며, 우리가 전혀 경험하지 못한 새로운 생각의 개념을 소개한다. 

메타생각을 간단하게 표현하자면 ‘자신이 생각하는 것을 다시 생각하는 것’이다. 개념적으로 메타인지(meta-cognition)와 유사하지만 메타생각은 실제로 창의적인 생각을 구현 할 수 있는 ‘생각의 스위치’ 기술을 모두 담고 있다. 저자는 자신이 직접 경험한 것을 바탕으로 오랫동안 연구해온 뇌 과학, 심리학, 인지과학, 수학을 모두 융합하여 새로운 생각의 전환 스위치인 메타생각을 완성하였다. 

창의적 생각을 위한 8가지 생각의 기술과 그것을 활용하는 법을 제시하고, 창의성과 융합의 시대가 절실히 요구하는 새로운 눈과 사고법을 정리하였다. 더불어 메타생각을 위한 다양한 문제들을 부록으로 수록하였다. 

■ 저자 임영익 

공부와 별 인연이 없었던 저자는 고등학교 1학년 겨울방학 때 기묘한 경험을 하였다. 수학을 그림처럼 그려보면서 ‘이미지를 이용하는 직관적 사고법’을 알게 된 것이었다. 이 생각의 기술이 인생의 반전을 가져왔다. 대학에 진학하여서는 전공인 생명과학뿐 아니라 수학, 물리학, 전자공학, 심리학, 경제학 등 다양한 전공 분야를 공부하였다. 그 후 미국에서 뇌 과학과 인공지능을 연구하다가 귀국하여 변호사가 되었고 인텔리콘 법률사무소와 인텔리콘 연구소를 설립하였다. 낮에는 변호사 업무를 하고 밤에는 지식융합 연구에 몰두하는 등 ‘주경야경’하면서 다양한 활동을 하고 있다. 특히, 뇌 과학과 예술을 융합하여 ‘창의수학’ 콘텐츠 및 ‘메타생각’ 콘텐츠를 개발하고 있다. 최근에는 ‘법률 데이터 간의 상호 관련성 알고리즘 개발’ 프로젝트를 진행하면서 새로운 법률 융합 플랫폼을 만드는데 주력하고 있다. 

주요약력 

서울대(생명과학) l 영국 수학회 정회원 l 국제수학교육회의(일본 동경)한국대표 l 메타수학연구소 소장 l 과학 동아 칼럼리스트 l 사법시험 51회 합격/사법연수원 41기 l 특허연수원 9기 l 법조인 양성 특별위원회 위원 l 공익법률기금 자본연구위원회 위원 l 한국 콘텐츠진흥원 자문변호사 l서울 공연예술 고등학교 고문변호사 l 세종고등학교 고문변호사 l 숭실 사이버 대학교 교수(엔터비즈니스학과, 뇌과학 및 지식융합 담당) l 인텔리콘 연구소 소장 l 인텔리콘 법률사무소 대표 

■ 차례 

Chapter 1. 억울한 남자 

1-1. 곰탱이 l 1-2. 거머리 l 1-3. 호기심이 전부다. 

Chapter 2. 생각을 못하는 진짜 이유 

2-1. 공포증 l 2-2. 모두 다 외울 순 없다 l 2-3 나는 그동안 니가 한 짓을 알고 있다 

2-4. 식스센스 l 2-5. 이그나이터-감각 점화 l 2-6. 이미지와 패턴 l 2-7. 눈 돌리기-관찰 

Chapter 3. 메타생각의 시작 

3-1. 수비타이징 l 3-2. 자동 반응과 탐색 과정 l 3-3. 생각의 2중 스캐닝 

3-4. 생각의 프레임 l 3-5. 상상 연습 

Chapter 4. 누가 그것을 보았나 

4-1. 가을의 전설 l 4-2. 생각의 반전 l 4-3. 성스러운 불빛 

4-4. 머리의 재구성 l 4-5. 개헤엄과 파바로티 

Chapter 5. 이미지가 생각이다 

5-1. 본다는 것 l 5-2. 수학에서의 착시 l 5-3. 분할선 l 5-4. 시작은 평행하게! 

5-5. 이미지 연속 기법 l 5-6. 회전 상상 l 5-7. 공간 상상 l 5-8. 도형 죽이기의 참뜻 l 5-9. 마루타 

Chapter 6. 지우면 다 지워진다 

6-1. 일본의 힘 l 6-2. 톱니바퀴 l 6-3. 연필이냐? 볼펜이냐? l 6-4. 지우면 안 돼 

Chapter 7. 발칙한 상 

7-1. 무엇을 하든지 하지 마라 l 7-2. 이것은 그림이다. l 7-3. 추상의 눈 

7-4. 함수의 추억 l 7-5. 마그리트와 아이디어 카트 

Chapter 8. 메타전략 

8-1. 가래침 l 8-2. 메타전략1-뽀모도로 테크닉 l 8-3. 메타전략2-포지셔닝 

8-4. 메타전략3-자기예측 l 8-5. 여우같은 엄마 

Chapter 9. 미완성이 절정이다 

9-1. 암기의 기술 l 9-2 기억의 원리 l 9-3. 직관기술1 l 9-4. 직관기술2 

9-5. 창조의 즐거움 l 9-6. 메타의 역습 

Chapter 10. 생각의 기술

메타생각

억울한 남자

호기심이 전부다

난 자세하게 도형과 이미지를 이용하여 스피드 암산과 작대기 곱셈에 대해서 설명을 해 주었다. 겜은 생각보다 빨리 이해했다. 나는 녀석에게 원 샷 스피드 계산, 마운틴 수를 간단하게 설명하고 훈련용 문제를 주면서 일주일 동안 모두 풀어오라고 주문했다. 뒤뚱거리고 나가다가 문에 머리를 내밀며 넙죽 인사하는 겜.

몇 문제 재미로 보여준 것에 애착을 보이는 모습에 웃음이 나왔다. 사실 겜에게 계산의 중요성이나 계산 요령을 설명한 것은 아니었다. 이미 수학 알레르기 증상이 심한 경우에 교과서의 내용을 반복하는 것을 별 의미가 없다. 공부에 대한 태도가 먼저 변해야 한다. 즉 호기심을 자극하여 스스로 생각의 재미를 느껴야 한다.

스피드 원 샷 계산법을 초등학생들에게 가르쳐 주면 신기해하면서 연습을 해 보거나 친구들에게 자랑하는 경우가 종종 있다. 중학생 이상의 경우에는 관심이 없는 주제라고 생각해서 큰 기대하지 않았는데 중학생인 겜이 즉각적인 반응을 한다는 것이 오히려 더 신기했다. 단순히 호기심만 자극하려고 했는데, 붙들고 늘어지는 겜의 태도에 불길한 예감이 들기 시작했다. 이 곰탱이를 진짜로 지도해야 하나?

생각을 못하는 진짜 이유

공포증

며칠 후, 녀석은 약속 시간에 정확하게 맞추어 연구실로 찾아왔다.

"선생님, 숙제 다 했습니다. 정말 수학에 이렇게 희한한 것이 있는 줄 몰랐어요. 근데요 선생님, 고백할 것이 있는데 해도 돼요?"

"고백? 죄진 것 있니?"

"그게 아니고 수학에 대해서 말씀드릴 게 있는데…."

"뭔데?"

"사실 수학을 싫어하게 된 이유가 다른 데 있는 게 아니고 성적 때문에 그렇게 되었어요. 전 엄마 말대로 수학 공부를 안 한 게 아니고 숨어서 몰래 공부를 좀 했답니다. 근데 조금만 문제가 응용되면 도무지 공식이나 풀이가 생각이 안 나는 거예요. 그래서 시험만 치면 죽 쑤고, 돌대가리라고 친구들이 놀리는 것 같고…. 그래서 열 받아 겜방에서 스타크를 시작했는데 너무 재미있어서 여기에 푹 빠져 수학을 멀리 하게 된 거예요."

"시험 칠 때 왜 자꾸 망치는 것 같니?"

"글쎄요. 그것을 잘 모르겠어요. 그냥…. 모르는 문제가 나오면 머리가 하얘지고…."

"그럼 시험 공포증이 있는 거구나."

수학 공포증

최근에 이런 수학 공포증에 대한 재미있는 연구 결과가 나왔다. 미국 시카고 대학 연구팀들은 수학 공포증과 통증이나 위험을 감지하는 뇌 영역인 섬엽과의 관련성을 알아냈다. 실험 참가자들에게 수학 관련 문제들과 단어 관련 문제들을 각각 풀게 하고 기능성 자기 공명 영상(fMRI)으로 뇌를 촬영하였다. 실험 결과는 다음과 같다. 일반적으로 평소 수학에 대한 두려움이 높은 성향을 지닌 사람일수록 수학 문제를 다룰 때 신체적 위협을 감지하거나 신체적 고통을 느끼는 뇌 영역인 섬엽과 대상회의 활동이 더 증가한다. 재미있는 것은 실험 참가자들은 수학 문제를 푸는 과장 자체보다 수학 문제를 풀게 된다는 생각 자체에 훨씬 더 민감하게 반응했다는 것이다. 이는 수학에 대한 두려움이 신체적 위협이나 고통과 직접적으로 연관되어 있다는 것을 나타낸다.

이미지와 패턴

"자, 그럼 패턴 인식부터 시작하자. 이 훈련을 통해 패턴을 보는 감각을 길러 볼 거야. 쉽게 얻을 수 있는 수학 감각이니깐 말 그대로 감각적으로 하면 돼. 자 문제 나간다. 잘 듣고 대답해. 2, 4, 6, 8, 10, 다음 수는?"

"12요."

"그럼, 1, 5, 9, 13, 다음은?"

"응, 가만 보자. 4씩 올라가니까 17이죠."

"그렇지. 단순 계산을 해 보면 누구나 알 수 있는데, 유치원생도 이 정도는 할 수 있어, 그런데 이런 계산 과정이 발 좌뇌에 의해서 이행되는데 단순하게 너의 좌뇌가 습관처럼 작동했다고 보면 된단다. 그럼 다음 문제의 규칙은? 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4…."

"음, 글쎄…. 잘 모르겠는데요."

"잘 봐. 1, (1, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 3, 4),…. 이런 식으로 숫자가 배열되니까 다음 수는 1이지? 그 다음은 2고? 이런 경우는 눈으로 보고 바로 알 수 있는 것이 아니란다. 패턴 인식 훈련에서는 부분과 전체의 공간적인 모습과 숨겨진 논리 구조를 볼 수 있는 생각의 눈을 만드는 것이 포인트! 이것을 도와주는 것이 바로 우뇌지만, 그냥 그런 것이 수학에서 더 중요하다는 인식만 하면 일단 성공이다. 한 문제 더 줄게. 1, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 다음 숫자는?"

"음, 헷갈리는데…. 아! 알았어요, 1! 1, 121, 12321…. 이렇게 숫자 무더기가 커졌다가 작아졌다가 하면서 하나씩 늘어나는데요."

"오케이, 우뇌 작동 성공! 이것을 이름 하여 이미지 사고법이라고 하는데 이미지를 생각하면서 공간적인 분포를 체크하는 거지. 아직 계산이 등장한 단계는 아니야."

메타생각의 시작

생각의 2중 스캐닝 scanning

"역발상? 이건 또 뭐죠?"

"먼저 퀴즈를 하나 맞히면 전진한다. 일 더하기 일은 얼마?"

"쳇, 당연히 2죠."

"땡! 틀렸어. 답은 중노동, 그럼 이 더하기 이는?"

"음, 덧니요!"

"땡! 틀렸다. 4지."

"에이, 선생님 맘대로 네요?"

"물론 선생님 마음이지. 후후. 이것이 바로 자유 발상에서 나오는 역발상이라는 것이다. 우리는 항상 고정 관념이나 습관에 길들여져 새로운 것을 생각하기 어렵다. 역발상은 이것을 깨는 것이다. 좀 유식하게 말하면 생각의 프레임에서 탈출하는 것이 역발상! 간단하게 말하면 뒤집기! 생각의 길을 완전히 전화하는 것이란다. 우리의 목표가 생각의 기술을 깨닫는 것이니깐 지금부터 하는 역발상 훈련이 수학과 별 상관없다는 생각이 들더라도 재미있게 해보자꾸나. 너무 심각하게 생각하지 말고 위트와 유머라고 생각해면 돼."

"네, 그냥 엉뚱한 생각이군요."

"일단 거꾸로 생각해 본다는 느낌만 가지면 누구나 즐길 수 있단다. 습관 탈출 훈련의 하나인데 생각의 차원을 변화시키면 창의적 사고로 연결이 쉽게 돼. 수학 문제를 풀 때도 역발상 기술을 적용하면 새로운 아이디어가 샘솟는 것을 맛볼 수 있단다."

"그럼 역발상은 생각의 프레임을 바꾸면 되는 것이군요. 생각과 생각의 프레임은 다른 것인가요?"

"아! 좋은 질문이구나. 생각과 생각의 프레임은 출발부터 다르다. 이야기가 어려워지는데 역발상하고 연결해서 보자꾸나. 발상을 전환하려면 나의 생각을 지배하는 어떤 틀 밖으로 빠져나와 그 틀 안에 있었던 생각에 대해 다시 생각할 수 있어야 한단다. 그것을 메타생각이라고 하는 것이지."

"어? 메타? 정말 무슨 소리를 하는지 점점 미궁에 빠지고 있는 것 같아요."

"좀 어려울 거야. 생각에 대한 생각은 메타생각이고, 생각의 프레임은 생각이 흘러가는 시스템이란다. 그 시스템 속의 구체적인 행로가 생각이다. 결국 생각의 프레임을 살피는 것도 메타생각인 거야."

우산과 지렁이

우리는 일상에서 불편함을 느낄 때 그것을 해결하기 위해 여러 가지 아이디어를 생각해 본다. 생각으로만 끝날 때가 많지만 상상 자체가 즐겁기도 하다. 흔해 빠진 우산에도 기발한 아이디어 제품이 많이 있다. 그 중에서도 세워지는 우산(standing umbrella)이 재미있다. 우산 끝에 다리가 달려 있어서 직장이나 커피숍에서 자기 자리 옆에 우산을 세울 수가 있다.

우리는 아이디어 넘치는 사람이 되고 싶어 한다. 그래서 항상 창의적으로 생각하는 법을 갈망한다. 그러나 창의적 생각 법을 어떻게 배울 것인가에 대해서는 소홀하다. 사실 단순한 아이디어를 생각하는 것조차 어디에서 쉽게 배울 수 있는 것은 아니다. 생각의 기술은 하나의 지식 속에 담겨진 것이 아니기 때문이다. 그러나 생각 하는 것이 무엇인지를 개념적으로 잘 이해한다면 책이나 일상생활을 통해 조금씩 발전시켜 나갈 수 있다. 특히, 역발상의 기술은 일상생활 속에서도 충분히 즐기면서 연습할 수 있다.

역발상은 개념적으로 이해하기 쉬운 생각의 기술이다. 좀 과장되게 표현하면 관점을 180° 돌려서 보는 것이다. 생각 뒤집기의 기술이다. 생각이 막히면 생각 자체를 뒤집어 버리면 된다. 이것이 힘들면 생각의 대상을 뒤집어도 된다. 자신이 생각하는 것을 다시 생각해 보면서 휙 뒤집어 보는 것이다. 마지막으로 비가 오면 생각하는 지렁이 문제를 풀어보자. 지렁이를 밟으면 꿈틀댑니다. 왜 꿈틀댈까요?(물론 아파서 그렇겠죠. 함부로 밟지 마세요. 그런데 인터넷을 보면 제대로 안 밟아서가 진짜 정답이라네요.)

누가 그것을 보았나

생각의 반전

수학은 논리고, 논리적 사고가 수학을 강하게 만든다고 굳게 믿었지만 이 형식적 논리와 추상적인 체계 때문에 수학이 점점 더 지루하고 재미없는 과목으로 변해갔다. 수학은 빈틈없는 논리 체계 속에서 계산식이 암호처럼 나열되어 처음부터 사람을 긴장시킨다. 그러나 여기에는 어떤 함정이 숨어 있다. 논리적 체계라는 것과 그것을 뽑아내는 직관적 발상은 별개라는 것이다.

직관적인 생각은 이미지와 패턴을 이용한다. 이미지와 패턴은 계산보다 쉽고 논리보다 빠르다. 수학 공부를 할 때는 엄밀한 논리보다 직관적 사고법이 앞서도록 노력해야한다. 수학에 흥미를 잃고 머리 마비 증세가 오기 전에 직관적 사고법을 병행하기를 권한다. 이 사고에 익숙해지면 극적인 생각의 반전을 경험할 수 있다. 생각의 반전은 인생의 반전이다.

머리의 재구성

수학 계산에 따라 우리 두뇌가 각기 다른 시스템을 이용한다는 논문을 보고 깜짝 놀랐다. 숫자를 처리하고 인식할 때 언어처럼 인식하고 처리하는 모드와 이미지로 처리하는 모드가 함께 있다는 것이 과학적으로 증명된 것이다. 우리 두뇌는 2가지 모드를 가지고 태어났고, 이미지로 처리하든 어림짐작으로 셈하든 언어를 처리하는 좌뇌 대신에 다른 뇌 회로를 이용하여 생존에 필요한 최소한의 숫자를 처리하였을 것이다. 그런데 어떤 이유로 이미지 처리 모드는 우리 관심에서 멀어졌고 기존 교육 체계상에서 이 모드의 필요성과 중요성이 잊히면서 결과적으로 우리는 이 능력을 잘 잘 활용하지 못하게 되었다.

이 책에서 계속 등장하는 이미지 사고법은 수학에 있는 개념적 내용이 아니라 그 내용을 직관적으로 포착해 주는 생각의 기술이다. 통찰은 직관적인 것으로 논리하고 다르며 생각의 점프 같은 것이다. 결국 이미지 사고법은 생각을 점프시켜 주는 기묘한 힘을 가진 생각의 기술이다. 수학은 논리이지만 이미지적인 사고법에 의해 생각의 점프가 쉽게 일어난다. 또한 수학을 통해 이미지 사고법을 매우 효율적으로 훈련 할 수 있다. 결국 지루하고 기계적인 수학에 이미지 사고법을 잘 응용한다면 수학이 강해지는 동시에 생각도 강해지는 일석이조의 효과를 얻게 된다.

이미지가 생각이다

이미지 연속 기법

"여기서 잠시 그 유명한 이미지 연속 변환에 대해서 알려주마. 어떤 이미지를 머릿속에서 실제 움직이는 것처럼 상상하는 거야. 이것은 생각의 기술이고, 수학에 응용이 잘 되는 기술이란다."

"머릿속으로 움직이는 것을 상상한다고요?"

"그래 쉽고도 어려운 상상! 이 기법과 관련하여 하나의 예를 들면 등적 변형이라는 것이 있다. 평행선에 잠긴 삼각형은 그림처럼 아무리 변형을 하여도 면적이 일정하다. 이 정도는 알고 있지? 이미지 연속 변환이라는 것은 머릿속에서 움직임을 상상하는 것이므로 처음에는 어려울 수도 있단다. 항상 머리 훈련하다는 마음으로 접근하길!"

"네. 머리 훈련!"

회전 상상

"마술을 하는 것처럼 우리도 도형을 회전시켜 보자. 머릿속으로 상상하면서 자유롭게 아무 곳에나 핀을 꽂아서 휙휙 돌려보아라. 먼저 손이 가면 안 돼. 마음으로 집중하며 돌려라."

"휙휙! 뭐 이정도야."

"그래. 회전시키면서 확대도 해 보고, 축소도 해보고, 맘대로 그냥 그렇게 이리 돌리고 저리 돌리고 해 보면, 나중에 가서는 척보면 염력으로 단번에 회전시키고 이동시킬 수 있다."

"근데 이게 도형 문에 어떻게 응용이 되죠?"

"문제 속에서 회전시키고, 확대하고, 말고, 당기고 하는 것을 의식적으로 하게 되면 해법의 실마리를 미리 느낌으로 알 수가 있단다. 이것이 잘 되면 문제를 보고 그 즉시 이미지가 움직이는 것을 머릿속에서 경험하게 될 거야."

도형 죽이기의 참 뜻

예전에 중학생을 대상으로 도형 공부에 관한 설문 조사를 한 적이 있었다. 예상외로 학생들은 방정식, 부등식과 같은 대수 분야(algebra)보다 도형 부분을 더 어렵게 느끼는 것 같았다.

지금의 입시 수학에서는 지난 본고사, 학력고사 시절과는 달리 기능적 분야가 아닌 아이디어 위주의 문제가 많이 등장한다. 중학교 때 도형에서 응용된 문제들이 많이 출제되고 또한 상당한 사고력을 요구하기도 한다. 입시에 필요한 도형의 아이디어와 발상법은 고등학교 정규과정에서 배울 수 없기 때문에 막상 입시가 다가오면 이 부분에서 우왕좌왕하다가 시간만 허비한다.

우리는 어떻게 도형을 즐기며 어디서 빛나는 아이디어와 발상법을 배울 것인가? 좀 느리고 돌아가는 것처럼 보이지만 보조선을 긋는 법과 회전 및 대칭의 원리를 철저히 훈련하여 감각을 키우고 새로운 수학의 눈을 만들어 가는 것이 결국 더 빠른 길이다. 이를 통해 자연스럽게 이미지로 생각 하는 법을 깨닫게 되고 나아가 대학입시까지 챙길 수 있다.

꾸준히 회전 연습과 여러 가지 연속 이미지 훈련을 해보면 신기하게도 도형은 죽어 버린다. 그러다 어느 순간 돌변하여 영화의 한 장면처럼 도형이 살아서 움직이게 된다. 생각의 머리에 새로운 눈이 하나 생긴 샘이다. 도형을 죽이면 새로운 생각이 살아난다. 이것이 도형 죽이기의 참뜻이다.

발칙한 상상

이것은 그림이다

"먼저 함수 그래프를 정복한다. 당장은 함수 자체에 대해 너무 연연하지 말고, 우리는 계산 과정을 줄이고 그래프를 그림으로 그려보면서 완전히 몸으로 익히는 연습을 많이 할 거야."

"정말 복잡한 계산 없이 그래프를 그릴 수 있을까요?"

"쉽게 생각해. 꼬리하고 머리만 보고 그 그래프를 느껴봐라. 완전히 자동으로 그려지게 절대로 계산이니 대입이니 하는 것은 하지 마라. 무조건 느낌으로 척 그려라. 화려하게 색 볼펜을 사용해서 한 장에 한 개만 그려라. 종이 아깝다고는 생각 말고. 잊어서는 안 되는 것은 함수식만 보고 지레 겁먹지 말고 대충 그려야 된다는 거야. 식들은 그림을 그리는데 필요한 암호라고 생각해. 자나 깨나 앉으나 서나 밥 먹을 때나 화장실 갈 때나 항상 머릿속으로 그림을 생각해라. 일단 눈앞에 어른거리지만 해도 대성공이다."

추상의 눈

추상을 느끼는 감각이 있다면 그저 아름답고 묘하다 정도일 것이다. 추상은 사물의 본질만을 찾아서 재구성하는 것이며 눈에 보이는 것 이면에 숨은 어떤 것을 찾는 것이다(패턴 인식과 같은 맥락에서 이해할 수 있다). 좀 과장되게 표현하면 그 어떤 것이 주관적일 경우 예술이 되고 객관적일 경우 수학이 된다.

수학은 사물의 성질 그 자체를 다룬다기보다는 사물들의 관계와 그 패턴을 다루며 그것을 기호로 재구성하고 또한 그 시스템을 계속 추상화시킨다. 이처럼 미술(특히 현대 미술)과 수학은 추상성의 입장에서 서로 닮았다. 처음부터 추상적인 미술 작품의 아름다움을 느낄 수는 없지만 많은 작품을 감상하고(혹은 스스로 그려 보고) 그 이면의 스토리를 배우는 과정에서 차츰 추상을 느끼는 눈이 생긴다. 같은 이지로 수학에서도 학습을 통해서 추상을 보는 눈이 생기는 것이다. 이렇게 학습된 추상의 눈을 통해 생각의 힘을 키워 나가고 세상을 새롭게 보게 된다.

함수의 추억

학교에서 처음 함수를 접할 때는 간단한 비례를 다루는 일차함수로부터 시작하여 추상적인 함수의 정의와 기본적인 성질들을 배우게 된다. y=f(x)라고 표시되는 함수의 의미와 그 구조를 완전히 이해하는 데는 상당한 시간이 걸리고 함수 부분에서 엄청난 고통을 겪는다. 수학에서는 함수뿐만 아니라 대부분의 대수학(algebra) 파트가 기호로 움직이고 추상화되어 있어 초보자가 직접적으로 그 느낌을 가지기 힘들게 되어있다. 이런 점에서 함수 부분에 자신이 없다면 함수의 대략적인 개념만 이해하고 재빨리 다음 단계로 진입하는 것이다 좋다.

처음부터 공리 체계에 따라서 어려운 추상적 성질과 기호를 그냥 무작정 주입시키면 우리의 뇌는 반발을 하게 되어 있다. 감각이 아직 없는 상태에서 추상적인 것을 이해하려고 드는 것은 물과 기름을 섞으려고 하는 것과 같다. 함수뿐만 아니라 다른 수학의 분야도 이와 마찬가지다. 추상화된 수학은 그 단순함 때문에 시처럼 아름답지만, 그것을 느낄 수 있는 감각이 없다면 단지 이것은 무미건조하고 골치 아픈 암호에 불과한 것이다.

추상 병이 오기 전에 충분히 이미지 훈련을 하여 쉽게 감각적으로 접근할 수 있도록 노력해 보자. 그다음에 방정식 전투에서 이것을 응용하여 죽이면 되는 것이다. 이미지와 감각을 총 동원하여 그래프를 손으로 그려보면서 하나의 패턴으로 익히게 되면, 단순한 수식에서도 마음속으로 이미지를 상상 할 수 있다. 또한 감각과 이미지가 잘 결합이 되면 수학 문제를 풀 때 그것의 이미지가 머리 한쪽에 스크린처럼 펼쳐지고 이것을 보면서 계산을 할 수 가 있다. 조금 더 익숙해지면 계산을 손으로 직접 하지 않아도 머릿속 이미지 상태에서 직관적으로 흐름을 느끼며 결론을 유추할 수 있다.

메타전략

메타전략 1 - 뽀모도로 테크닉

"성적 죽이기 1단계부터 시작해 보자. 이것은 이름 하여 타이밍 적응 테스트라고 부르는 것인데 정답의 개수뿐만 아니라 시간도 체크하는 것이다. 시간을 정확히 재면서 빨리 푸는 연습을 해라. 학교 시험은 스피드와 정확성을 동시에 요구하는데 1시간 정도의 짧은 시간 안에 몇 단원의 문제를 풀려면 생각할 시간이 별로 없어. 그래서 문제를 보자마자 손이 나가야 한다. 시간을 극복하는 연습이지. 답이 틀려도 좋으니 무조건 시간 내에 빨리 풀고 점수를 기록해야 돼. 중요한 것은 미리 시험 치는 것처럼 분위기를 유도하는 것과 스피드와 정확도를 적절하게 조절하는 거야. 별것 없지? 이 스피드 훈련의 궁극적인 목표는 시간 압박을 극복하는 기술을 익히는 것이지. 시간 압박이 시작되면 심리상태가 불안정해지고 생각이 망가진다."

"그렇군요. 저는 시험 칠 때 시간 압박이 심해요."

"누구나 시간 압박이 있지. 핵심은 생리변화를 체크하고 스트레스를 견디는 연습을 어떻게 할 것인가를 스스로 생각해 보는 거야. 어쨌든 이것도 네 자신을 관찰하고 네 자신에 대해서 생각하는 것이니 이것도 일종의 메타기술이다."

메타전략 2 - 포지셔닝

"자, 다음 2단계로 가보자. 충분히 타이밍 훈련이 되었다면 시험 치기 하루나 이틀 전에 눈을 감고 공부한 내용을 머릿속으로 하나씩 떠올려라. 생각이 잘 안 나면 다시 책을 뒤적이고 확인하고 다시 떠올리는 것을 계속 반복해서 완전히 공부한 내용을 머릿속으로 정리해라. 머리로 정리한다고 해서 문제를 새로 푸는 것은 아니다. 이미 풀어 본 문제들을 다시 확인 하면서 어떤 문제가 어디에 있다는 위치를 파악하면 되는 거야. 이것을 포지셔닝(positioning, 위치 확인)이라고 한단다. 이렇게 머릿속으로 정리한 후 바로 풀 수 있는 문제와 생각이 더 필요한 문제를 분류해야 한다. 스스로 자신 없는 부분이 무엇인지를 확인하는 절차지."

"아, 이것도 메타군요."

"그래. 자신의 생각 자체를 다시 체크하는 과정은 모두 메타생각이라고 보면 된다. 이 메타에 익숙해져야 생각을 확장하고, 수정하면서 약점을 보완할 수 있는 전략을 스스로 말들 수 있단다."

메타전략 3 - 자기예측

"마지막 단계가 남았다. 이름 하여 자기 예측! 예상 문제를 만들고 그것의 점수 결과를 예측하는 거야. 자신을 출제하는 선생님이라고 생각하고 포지셔닝하면서 분류했던 것 중에 자신이 없는 문제를 중심으로 예상 문제를 50% 정도 뽑고, 나머지는 전체적으로 훑어보다가 동물적으로 느낌이 팍 오면 그것을 예상 문제로 선택하여라. 그러고 나서 적당히 1~2회 분량으로 나누어 스스로 시험을 쳐보는 것이지."

"에이, 선생님도…. 제가 출제한 문제라면 당연히 백점 나오겠죠."

"그럴 것 같지? 백점의 느낌은 너의 욕망에 불과하단다. 풀어 본 문제를 즉시 출제 문제로 정하는 것이 아니라 시험 범위 전체를 머릿속에서 스캐닝해서 선택한 것과 감각적으로 선택한 문제를 반반 섞어서 만들기 때문에 실제 시험과 유사해진다. 포지셔닝 작업을 통해 약점을 이미 진단해 두었잖니? 희한하게도 몇 번 해보고 요령이 생기면 선택된 문제가 실제 문제에 적중이 되는 경우가 있단다. 즉 실제 무슨 문제가 나올지 대충 짐작을 할 수 있는 예지력이 생기는 거지."

미완성이 절정이다

생각의 2중 스캐닝

우리는 살아가면서 무수한 문제를 만난다. 문제를 푼다는 것은 가장 좋은 해결책을 찾는 과정이다. 그 해결책을 찾기 위해 머리가 움직이는 것을 1차 생각이라고 불러보자. 1차 생각은 머릿속에 있는 지식을 찾고 그것을 연결하는 행위이다(1차 스캐닝). 여기서 1차 생각(1차 스캐닝)과 메타생각을 좀 더 고찰해 보자. 1차 생각은 내가 아는 것만 스캐닝 하는 것이다. 이것은 우리가 길을 잃고 헤매는 과정하고 비슷하다. 결국 지도가 필요하다. 지도를 통해서만 자신을 볼 수 있다. 정확하게는 자신이 니라 자신의 위치를 보는 것이다. 이 단계에서 자신이 모르는 것을 알게 된다.

길 문제처럼 자신의 위치를 알기 위해서는 1차 생각을 하는 자신을 생각해 보아야 한다. 1차 생각을 과거로 이동시키면 1차 생각이 움직이는 과정을 다시 생각할 수 있다(2차 스캐닝). 이것이 메타생각기법의 기본 원리이다. 1차 생각을 다시 스캐닝 하면서 자신이 모르는 것과, 왜 그렇게 생각하고 있는가를 분명하게 납아 낸다. 이런 과정을 통해서 최초 1차 생각과는 다른 새로운 생각 체계로 들어간다. 즉 메타생각의 반복을 통해서 기발한 생각을 스스로 만들게 되는 것이다. 이 때 메타생각을 빠르게 작동시키면 2중적인 생각구조가 동시에 발생하는 느낌이 든다. 그래서 이것을 생각의 2중 스캐닝이라고 하는 것이다.

창조의 즐거움

"마지막으로 생각의 최종 단계인 문제 창조에 대해서 알려줄게. 이것은 문제집이나 참고서를 가지고 문제를 그냥 푸는 것이 아니고 스스로 창조를 해 보는 것이다."

"창조? 수학이론을 만든다는 뜻인가요?"

"이론을 만드는 것이 아니고 문제를 만드는 것이다. 문제의 창조라고나 할까? 문제를 만드는 것이 쉬운 것은 아니지만 이것도 훈련을 하면 요령이 생긴다.

"음…. 요령! 근데 창조는 창의성이 있어야 하는데 그런 건 수학보다 더 어렵고 막연할 것 같아요."

"그렇지. 좀 막연하지. 창조라는 것은 기발한 아이디어를 만드는 것과 비슷하단다. 그 발상연습을 먼 곳에서 찾지 말고 직접 수학 속에서 찾아서 해 보는 거야. 사실 지금까지 공부한 과정 자체가 창의 훈련을 한 것이라고 보면 된단다. 자, 창조 요령의 첫 단계! 우선 자기가 문제를 다시 구성하는 거야, 이것이 창조의 시작인데 모방에 가깝지(모방변형). 두 번째 단계는 여러 가지 공식이나 법칙을 결합하여 한 문제 속에 집어넣는 단계인데 이것을 결합변형이라고 한단다. 마지막 단계는 유추와 추상이다. 대단한 의미로 해석하지 말고 실생활의 응용 정도로 생각하여라. 주변의 사물을 잘 관찰하여 수학으로 변화시킨다. 그냥 이것을 유추와 추상이라고 부르기로 하자."

"음. 그렇게 생각하니까 편하네요. 근데 왜 이 짓을 해야 합니까? 문제집 여러 권사서 보면 다양한 문제를 다뤄 볼 수 있는데."

"앞에서도 말했지만 문제를 푸는 것이 아니고 창의성 계발이라는 것에 집중을 해봐라. 문제를 새로 만드는 것 자체가 엄청난 생각 연습이 되는 거야. 머리 굴리기!"

"네. 머리 굴리기!"

"수학의 제 1원리 기억나니?"

"네. 심플리시티!"

"그 단순함이 바로 추상이며 창조인 거야. 이것이 수학이 주는 최고의 선물이란다. 숨은 패턴을 찾아서 응용하는 생활 응용도 나중에 연습해 보거라. 여러모로 이 문제 창조가 생각 훈련이라는 것을 명심하고."

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