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이런 수학은 처음이야.3

   
최영기
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21세기북스
   
15800
2022�� 07��



■ 책 소개


수학적 상상력과 사고력이 폭발하는 ‘입체도형’의 세계
서울대 수학교육과 교수가 전하는 화제의 ‘이런 수학은 처음이야’ 시리즈!

“수학 수업도 이렇게 재미있다면 얼마나 좋을까!” “아이들을 향한 진정성에 큰 감동을 받았다!” 출간과 동시에 교사·학부모들의 찬사가 끊이지 않았으며 중국과 대만으로 절찬리에 판권 수출된 화제의 베스트셀러 《이런 수학은 처음이야》가 1권 ‘평면도형’, 2권 ‘수’에 이어 3권 ‘입체도형’으로 돌아왔다. 평면을 벗어나 공간으로 떠난 도형들의 신나는 모험, 무한 변신하며 다채로운 매력을 뽐내는 ‘다면체’와 ‘뿔’, 그리고 완벽한 ‘구’의 신비한 이야기까지. 

이 책에서 서울대 수학교육과 최영기 교수는 아이들의 잠재된 수학 재능을 일깨울 강력하고 폭발적인 수학적 상상력으로 지금까지와는 차원이 다른 기발하고 독창적인 스토리를 펼쳐낸다. 수학 공식이나 암기만으로는 눈에 보이는 현상 너머의 구조와 원리를 이해하는 것은 불가능하기 때문에 많은 수포자를 탄생시키는 ‘입체도형’! 평생 아이들을 위한 ‘진짜 수학교육’을 고민하고 연구해온 최영기 교수는 중학교 교과과정을 토대로 꼭 알아야 할 수학 개념을 엄선하고 가장 수학적인 방법으로 입체도형을 풀어낸다. 이 책을 통해 아이들이 수학에 흥미를 느끼고 수학의 진정한 가치를 발견하는 놀라운 경험을 하게 될 것이다.

■ 저자 최영기 
서울대학교 수학교육과 교수이며 수학과 수학교육 양 분야를 아울러 연구하고 있다. 서울대학교 수학교육과를 졸업하고 동 대학원 수학과에서 석사 학위를 받았으며, 미국 로체스터대학교에서 대수적 위상수학(Algebraic topology)을 전공으로 하여 박사 학위를 받았다. 또한 서울대학교 과학영재교육 원장을 역임하며 영재교육이 지향해야 할 바를 연구하였다.

수학의 기능적인 측면에 익숙한 학생과 일반인들에게 수학이 추구하는 정신과 이로부터 느끼는 감동이야말로 수학의 가장 큰 가치임을 알리기 위해 여러 강연을 이어나가고 있다. 특히 이 책에서는 학생들이 수학에 재미를 느끼고, 또 학습에까지 연결될 수 있도록 교과과정 중 꼭 알아야 할 수학 개념만을 특별 엄선하여 아름답고 신기한 이야기로 수학 지식을 생동감 있게 전달한다.

저서로는 서울시교육청 선정도서 《서가명강 03 이토록 아름다운 수학이라면》, 《이런 수학은 처음이야》, 《이런 수학은 처음이야 2》가 있다. 이 저서들은 모두 중국·대만 등 해외로 판권 수출되어 전 세계에 수학의 정신과 감동을 전달하고 있다.

■ 차례
책을 펴내며 이토록 본질을 꿰뚫는 수학이라니!
프롤로그 공간의 세계로 날아가보자!

1강 차원이 다른 도형들을 만나다! - 다면체
3차원 공간에서, 사면체와 각뿔이 인사를 건네다
정다면체가 되려면?
정오각형과 정육각형으로도 정다면체를 만들 수 있을까?
정십이면체와 정이십면체, 드디어 탄생!
보고 또 봐도 궁금한 정다면체
수학에 눈뜨는 순간 1 플라톤의 위대한 착상
■ 이야기 되돌아보기 1

2강 다면체의 진정한 크기는? - 다면체의 겉넓이와 부피
나의 크기
차원과 도형의 신묘한 법칙
알아두면 쓸모 있는 닮음비 이야기
수학에 눈뜨는 순간 2 걸리버 여행기 다시 보기
■ 이야기 되돌아보기 2

3강 이리 보아도 저리 보아도 멋져! - 구
종이 뭉치에서 구의 부피를 구하다
구의 겉넓이 - 구를 아주 잘게 자르면?
비눗방울은 왜 동그랄까?
각의 크기를 표시하는 다른 방법, 호도법
신비로운 구 위의 세계
구 위에 놓인 삼각형은 뭐가 다를까?
비유클리드 기하-공간이 만들어낸 오묘한 세계!
수학에 눈뜨는 순간 3 경계에선 꽃이 핀다
■ 이야기 되돌아보기 3

신비의 방 - 수학 머리가 쑥쑥 자라는 가장 수학적인 이야기
관점
데카르트가 본 다면체의 관점
오일러가 본 다면체의 관점
가우스가 본 다면체의 관점
모든 다면체의 오일러 수는 항상 2일까
수학에 눈뜨는 순간 4 축구공 이야기

 


이런 수학은 처음이야 3


이토록 본질을 꿰뚫는 수학이라니!

《이런 수학은 처음이야》 1권, 2권 그리고 3권을 쓰는 동안 내내 머릿속에 맴돌았던 생각은 ‘어떻게 하면 학생들이 학교에서 배우는 수학이 가치가 있다는 것을 느끼고, 흥미를 갖고 공부하게 할 수 있을까? 수학과 관련된 좋은 책을 읽었을 때 느끼는 흥미롭고 의미 있다는 감정을 어떻게 하면 학교 수학 시간, 교실에까지 연장하여 배우고 있는 내용을 가치 있다고 느끼게 할 수 있을까? 하는 것이었다. 학교에서 배우는 수학이 배울 만한 가치가 있고 심오한 의미도 있음을 깨닫기를 바라는 마음이었다.


따라서 《이런 수학은 처음이야》시리즈는 학교에서 배우는 교과서를 충실히 따라가면서 학생의 눈높이에 맞추어 개념들을 이야기하듯이 설명하였고, 각 주제들이 지닌 수학적 가치를 전달하고 나아가 수학적 안목을 기르는 데 도움을 주고자 노력했다. 이런 의도를 가지고 쓴 이 시리즈는 수학에 대한 참고서이지만 문제 풀이를 위한 참고서가 아니라, 흥미를 증진시키는 참고서인 것이다.


수학을 왜 배우는가? 물론 수학 성적의 향상은 대학 입시에 도움이 되므로 학생들에게는 중요한 요소일 것이다. 그러나 수학을 수학답게 배워서 수학에 대한 흥미와 가치를 잃지 않는 것이 장기적인 관점에서 매우 중요하다. 가속화되는 인공지능(AI)과 IT의 발전으로 이미 수학적인 안목이 매우 중요한 시대로 접어들었다.


수학의 진정한 가치를 조금이라도 느낀 학생은 수학을 공부하는 강하고 올바른 동기를 부여받기 때문에 창의적인 문제해결력이 커져 수학 실력도 향상된다. 궁극적으로는 창의적인 수학적 사고를 다른 분야로 전이시킬 수 있는 태도를 갖게 되어 미래사회가 요구하는 방향에 서 있게 된다. 이 책을 통해 학생들이 수학적 흥미를 느끼고 그 흥미가 교실로 이어지기를 바란다.



공간의 세계로 날아가보자!

경험에 갇혀 이제까지의 사고의 틀에서 벗어나지 못하고 그 틀 안에서 문제를 해결하려고만 하면 우리의 생각은 자신이 얼마나 많은 일을 할 수 있는지도 모른 채 힘을 잃게 되고 문제의 해결점을 찾을 수 없게 돼. 기존의 평면 안에서 이 문제를 해결하려 한다면 당연히 해결책이 없어.


문제가 전혀 해결되지 않은 것처럼 보이는 것을 다른 시각으로, 다른 차원에서 바라보면 의외로 문제가 쉽게 해결되는 경우가 많아. 그건 수학뿐만이 아니야. 우리 일상에서도 그런 일이 많지. 자, 이제 평면에 갇힌 생각을 떠날 준비가 되었지? 평면의 세상에서 벗어나 많은 상상의 나래를 펼칠 수 있는 공간의 세계로 떠나보자!



나의 크기

“평면도형은 자기의 크기를 무엇으로 나타내는지 기억해? 맞아. 바로 그들은 넓이를 통해 자기의 크기를 나타내. 그렇다면 우리 입체도형은 무엇으로 크기를 표현하지? 어떤 이들은 겉넓이가 우리의 크기라고 이야기하지만, 우리 입체도형은 평면도형과 달리 입체의 안도 있잖아? 그 안쪽의 크기가 우리의 진정한 크기가 아닐까? 입체 안의 크기? 그걸 어떻게 알 수 있지? 그걸 측정하는 방법이 있는 걸까?”


지적 호기심이 발동한 공간상의 도형들은 자기들의 안을 채우는 크기를 어떻게 측정하는지 또다시 올빼미 올타고라스에게 물어봤어.


질문을 받은 올타고라스는 그들에게 평면도형과 입체도형의 차이가 무엇이냐고 물었어. 도형들은 “평면과 수직인 높이가 있다는 것이지”라고 대답했어.

 

“그럼 실마리를 거기서 풀어야 해. 평면도형에서는 평면도형의 크기를 넓이라고 부르는데, 공간 세계에서 입체도형의 내부의 크기를 부피라고 불러. 평면도형의 넓이를 구할 때 가로의 길이가 a, 세로의 길이가 b인 직사각형의 넓이를 ab라고 약속하고 그것을 기준으로 삼아.


입체도형 역시 부피를 구하기 위해서도 기준이 있어야 하는데, 그 기준을 직육면체로 했어. 그리고 가로의 길이가 a, 세로의 길이가 b, 높이가 h인 직육면체의 부피를 V=abh로 하기로 했지.


직육면체의 부피=가로의 길이×세로의 길이×높이


그런데 직육면체를 사각 기둥으로 볼 수 있고, 이때 ‘가로의 길이×세로의 길이’가 밑면의 넓이(밑넓이)니까

직육면체의 부피=밑넓이×높이


직육면체의 부피의 값을 잘 살펴보면, 밑면을 고정했을 때 높이 h가 클수록 부피가 커지잖아. 그러니 부피라는 것이 맨 밑바닥의 밑면이 얼마큼 높이 쌓여 있느냐는 것으로 이해할 수도 있지. 즉, 밑면을 높이 h만큼 쌓는 것에 대한 크기를 나타내는 것이지.


그래서 밑면의 모양과는 상관없이 두 밑면이 서로 평행하면서 합동인 기둥 모양의 도형은 그 부피가 밑면의 넓이×높이가 되는 거야. 밑면의 넓이가 A이고 높이가 h라고 했을 때, 기둥의 부피 V=Ah이지. 


기둥 모양의 도형은 밑면의 모양이 다각형이면 각기둥이라 하고, 밑면의 모양이 원이면 원기둥이라 해. 각기둥이나 원기둥 등의 부피를 구하는 공식도 다음과 같이 정리할 수 있지.


각기둥의 부피=(각기둥의 밑넓이)×(높이)

원기둥의 부피=(원기둥의 밑넓이)×(높이)


사람들은 평면 세계에서 도형의 넓이를 구하는 것이 중요하다고 생각했듯이, 공간 세계에서도 입체도형의 겉넓이와 부피를 측정하는 것을 중요하게 생각해.”


직육면체가 물었어.


“그런데 사람들은 왜 우리의 겉넓이와 부피를 아는 것이 중요하다고 생각하지?”


올타고라스는 미소를 지으며 설명을 계속했어.


“사람들 생활에서 측정이 쓸모가 있거든. 예를 들어 어떤 기업이 주스를 용기에 담아 팔더라도 용기를 둘러싸고 있는 겉넓이와 용기의 부피를 알아야 일정한 부피에 일정한 가격을 매길 수 있으니 말이야.


조금 더 재미있는 이야기를 들려줄게. 지구라는 공간에는 많은 생명체가 살고 있는데 각 생명체가 나름의 입체도형의 모습을 띠고 있어. 그들의 표면적과 부피에 대하여 알아보면 매우 흥미로운 사실을 알게 돼.


예를 들어 추운 곳이라 피부를 통하여 열이 방출하는 것을 최소화해야 하는 자연환경이라면 같은 덩치(부피)를 가진 생명체 중에서 피부 표면적이 작은 생명체가 생존에 유리하겠지. 즉, 덩치와 피부 표면적의 두 양에 대하여 덩치에 대한 피부 표면적의 비율인 피부 표면적÷덩치의 값이 작을수록 생존할 확률이 높겠지. 오랜 세월을 거치면서 결국 추운 곳에서는 피부 표면적÷덩치의 값이 작은 생명체가 많이 살게 되지.


반면에 무더운 곳은 피부를 통해 땀을 배출하여 체온을 낮추는 것이 필요한 환경이기 때문에 피부 표면적이 큰 동물이 더위에 적응하기가 유리해. 그래서 더운 곳에서는 피부 표면적÷덩치의 값이 큰 생명체가 많이 살게 되지.


북극여우와 사막여우의 몸집 차이를 봐! 여우뿐만 아니라 추운 지역일수록 포유동물의 덩치가 커지지. 사람도 추운 지역에 사는 사람일수록 평균적으로 몸집이 커.


그럼 몸이 커질수록 피부 표면적÷덩치의 값이 작아지고, 몸이 작을수록 피부 표면적÷덩치의 값이 커지게 되는 걸까?


이것을 도형을 이용해 수학적으로 따져볼까? 도형에 적용해보면 피부 표면적은 겉넓이, 덩치는 부피가 되지.


정육면체로 겉넓이와 부피를 계산하고, 부피에 대한 겉넓이의 비를 구해보면 더 쉽게 이해할 수 있을 거야.


모서리의 길이가 1인 정육면체는 넓이가 1×1=1인 정사각형 6개로 둘러싸여 있으니 겉넓이가 1×6=6, 부피는 1×1×1=1이니, 겉넓이÷부피=6 이고,


모서리의 길이가 2인 정육면체는 넓이가 2×2=4인 정사각형 6개로 둘러싸여 있으니 겉넓이가 4×6=24, 부피는 2×2×2=8이니, 겉넓이÷부피=3 이야.


이제 모서리의 길이를 4배, 8배, 16배 늘려서 겉넓이÷부피를 구해볼까?


잘 보면 정육면체의 부피가 1, 8, 64…로 커질수록 겉넓이÷부피의 값은 6, 3, 1.5…로 작아지지. 반대로 말하면 정육면체의 크기가 작아질수록 겉넓이÷부피는 커지는 거지. 이제 몸이 커질수록 피부 표면적÷덩치가 작아지고, 몸이 작을수록 피부 표면적÷덩치가 커지는 이유를 알겠지.”


올타고라스의 설명을 들은 입체도형들은 감탄해서 입이 저절로 벌어졌어!


“수학이 우리의 몸집의 크기와 살아가는 환경과도 관계가 있다니~!”

“수학은 사람들에게 대단히 큰 도움을 주고 있는 것 같아. 수학은 자연 속에 숨어 있는 비밀들을 알려주는 비밀의 문 같아!”


흥분한 공간상의 도형들은 저마다 감탄의 말을 했고 마음이 뿌듯해졌어.



비눗방울은 왜 동그랄까?

평면에서 같은 넓이를 갖는 도형 중에서 둘레의 길이가 가장 짧은 도형이 무엇이었는지 기억나? 맞아. 바로 원이었지.


그렇다면 같은 부피를 가질 때 어떤 입체도형이 최소의 겉넓이를 가질까? 이 궁금증을 해결하기 위해 같은 부피를 가진 구, 원기둥, 원뿔이 모여서 겉넓이를 구해 비교해보기로 했어.


구의 경우가 가장 겉넓이가 작다는 것을 알 수 있지?


구와 같은 부피를 가진 어떤 입체도형을 비교하더라도 구가 그 도형보다 겉넓이가 작아. 다른 방법으로 설명할 수도 있지만 그건 지금 이해하기에는 어려울 것 같아. 여기서는 같은 부피를 갖는 입체도형 중 최소의 겉넓이를 갖는 도형이 바로 구라는 것만 염두에 두자.


풀잎에 맺히는 이슬이나 비눗방울이 왜 구의 모습을 하고 있는지 생각해 본 적 있어? 이것이 위에서 설명한 것과 관련이 있다는 것을 알면, 또 한 번 수학에 대해서 놀라고 수학을 배우고 싶어질걸?


이슬이나 비눗방울에는 막이 있지. 그래서 햇빛에서 보면 이 막 때문에 무지개 색을 볼 수도 있지. 이 막은 탄력성이 있어서 그 안에 있는 물이나 공기를 보존하면서 막을 잡아당기게 되어 결국은 가능한 가장 작은 표면적을 갖게 되어 있어.


안에 있는 물이나 공기는 일정한 부피를 차지하고 있고, 같은 부피를 가진 입체도형에서 가장 작은 표면적을 갖는 도형이 구이므로 이슬이나 비눗방울들이 구의 모양을 띠게 되는 거야. 경제적이라고 해야 할까, 효율적이라고 해야 할까. 이슬과 비눗방울이 말을 할 수 있다면 이런 이야기를 하겠지.


“안에 있는 물을 뺏기기 싫어. 뺏기지 않으려면 물이 증발하게 하는 표면을 최소로 줄여야 하니 모양을 공처럼 만들자.”


어때? 자연 현상도 나름대로 수학의 합리성을 이용하고 있지?


곰이나 다람쥐 등과 같은 동물이 몸을 구 모양으로 웅크리고 겨울잠을 자는 것도 수학과 관계가 있어. 동물들도 공처럼 웅크려서 표면적을 최대한 줄여야 열의 방출이 최소화된다는 것을 본능적으로 알고 있기 때문이겠지.


그렇다면 추운 지방에 사는 동물들의 모습은 어떠한 모습을 띨까? 당연히 둥그스름한 모습이 아닐까? 추운 지방에 갈수록 열의 방출을 막기 위해서는 그것이 유리하니까 말이야. 앞서 부피 부분에 이야기했듯이 크기가 커질수록 겉넓이÷부피의 값이 작아지니, 추운 지방에 갈수록 크고 둥그런 모습을 한 동물이 많은 거지.



경계에선 꽃이 핀다

보통 평평한 평면기하를 유클리드 기하라고 부르고, 평평한 평면기하가 아닌 구면기하나 쌍곡기하를 비유클리드 기하라고 불러.


《이런 수학은 처음이야 1》에서 어떤 것을 다른 것과 구분할 때 필요한 것이 바로 테두리, 즉 경계라고 했지.


실제 수학에서 경계가 중요한 이유는 경계 때문에 각 도형의 이름과 특징이 생기기 때문이야. 다시 말해, 각 도형의 정체성이 경계에 의해 결정되는 거지. 예를 들어 삼각형의 경계는 세 변이지. 그런데 평면 위에서는 변이 직선의 일부분이잖아.


앞에서 탐구하였듯이 삼각형의 세 내각의 크기의 합이 180˚라는 성질은 어떤 상황에 관계 없이 항상 적용될 수 있는 것이 아니야. 삼각형의 내각의 크기의 합이라는 삼각형의 중요한 정체성도 표면의 상황에 따라서 직선의 개념이 바뀌기 때문에 변하게 되었지.


삼각형이 평평한 표면에 있을 때는 삼각형의 내각의 크기의 합이 180˚이지만, 볼록한 표면에 삼각형이 있다면 삼각형의 내각의 크기의 합이 180˚보다 크고, 오목한 표면에 있다면 삼각형의 내각의 크기의 합이 180˚보다 작지. 즉 삼각형이 놓인 표면의 상황에 따라서 삼각형의 경계의 정체성이 바뀌는 거야.


어떤 것의 ‘경계’라는 것이 ‘어떤 것을 어떤 것’이게 하는 것이라고 할 때, 도형을 도형답게 하는 것이 도형의 경계지. 우리에게도 나를 나답게 하는 ‘나의 경계’가 있지. 이 경계는 나를 이루는 정체성이기 때문에 도형에서만큼이나 나에게 중요한 부분이야. 그러나 때로는 상황에 따라 경계의 조건을 바꾸는 것이 필요해. 엄밀한 도형인 삼각형도 놓인 상황에 따라 경계의 조건을 바꾸지. 그 결과 이 경계에서 아인슈타인의 상대성 이론을 낳은, 비유클리드 기하라는 풍요로운 수학의 꽃이 폈어.


이것은 우리 사람에게도 적용될 수 있어. 나의 나됨에 집착해 상황을 고려하지 않고 고집불통이 되는 사람이 있어. 그렇게 되면 자신이 가진 모습에 갇혀 더 이상의 발전이나 변화가 없어지기도 하고, 그 경직성 때문에 주변 사람들을 이해하지 못하고, 자신의 잣대로 다른 사람을 바라보며 상대방을 힘들게 할 수도 있어. 보다 성숙해지고 자신을 확장하기 위해서는 나를 나답게 하는 경계와 더불어 상황에 따른 유연함을 발휘할 필요도 있어.


도형이 자신의 경계의 조건을 확장시켜 아름다운 꽃을 피웠듯이 나를 구분 짓는 경계에 대한 유연한 탄력성을 발휘한다면 우리도 앞으로 성숙한 인격의 꽃이 피지 않을까? ‘모든 경계에는 꽃이 핀다’고 어떤 시인이 말했듯이.


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